Arte Navale

Il matematico svizzero del Settecento ha posto le basi scientifiche della fluidodinamica, della stabilità e della resistenza strutturale delle imbarcazioni

C’è un personaggio della storia europea ben conosciuto in campo scientifico ma non altrettanto quando parliamo dei fondamenti della nautica. Quasi tutti noi, anche inconsapevolmente, usiamo ogni giorno prodotti tecnologici basati sulle sue applicazioni matematiche o, nella formazione scolastica, abbiamo incontrato le sue formule e dimostrazioni. Tale personaggio fuori dal comune è Leonard Euler, da noi più noto come Eulero, geniale svizzero di Basilea e il più famoso matematico del XVIII secolo, prima del nostro piemontese Lagrange. I suoi contributi si allargano all’astronomia, alla meccanica, al magnetismo, alla gravità, alle maree, all’architettura, alla musica, ai calcoli per le artiglierie e a molti altri settori della matematica applicata, la sua vera passione. Una Fondazione a lui intitolata a Basilea sta ancor’oggi catalogando la sua estesissima produzione scientifica.

Probabilmente vide il mare per la prima volta nel 1727 quando fu invitato dall’amico di famiglia Johann Bernoulli, che ne aveva compreso la genialità, all’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo; per questo dovette imbarcarsi per la prima volta, diciannovenne, su un veliero nel porto della città anseatica di Lubecca, per un viaggio per mare piuttosto travagliato.

Ai suoi tempi non vi era distinzione tra architettura navale e nautica lusoria, anche se già si affacciavano due contesti che iniziavano a divergere nelle realizzazioni, distinzione che sarebbe diventata più evidente già all’inizio del secolo successivo. Il nome di Eulero era balzato sul palcoscenico scientifico quando a soli vent’anni aveva vinto il secondo premio, il Gran Prix annuale dell’Accademia delle Scienze di Parigi, per trovare quale fosse la migliore alberatura e velatura per un vascello a tre alberi, secondo solo al già famoso fisico Pierre Bouguer, che aveva già scritto testi in materia. Il giovane Eulero, non avendo esperienza né mai visto ancora un veliero, aveva risolto il problema solo con la meccanica razionale.

Era solo l’inizio di molti altri contributi essenziali, che oggi ci consentono di vederlo come un padre scientifico nella progettazione anche delle nostre barche; padre e non solo un progenitore, perché gran parte della matematica usata è ancora la sua, insuperata e applicata. Nel XVIII secolo le curve di maggior interesse per disegnare le linee d’acqua di uno scafo erano le coniche (ottenute tramite l’intersezione di una superficie conica con un piano), soprattutto parabole ed ellissi, per tracciare le linee prodiere e poppiere di minor resistenza all’avanzamento, secondo modelli che già Newton aveva sperimentato. Disponendo delle equazioni delle coniche, che sono equazioni di secondo grado, tutte le aree comprese entro queste sono calcolabili con precisione e rapidità, semplificando molto il lavoro dei cantieri.

Fig. 1 – Metodi grafici di integrazione approssimata usati prima della computerizzazione dei calcoli.

Tuttavia fuori da queste curve bisognava avvalersi del calcolo integrale per trovare aree e volumi, purtroppo poco conosciuto tra i costruttori e tantomeno tra i maestri d’ascia. Alcuni utilizzavano ancora i vecchi sistemi grafici, simili a quelli usati per primo dall’inglese A. Deane attorno al 1670, approssimando superfici irregolari con figure geometriche note; altri più evoluti adottavano i metodi di integrazione grafica approssimata introdotti dall’inglese Thomas Simpson e dal francese Étienne Bézout, utilizzati ancora nel secolo scorso nel design, prima della computerizzazione dei calcoli. Questi due metodi, comodi e abbastanza semplici, partono entrambi dal principio che un integrale è risolvibile trasformandolo in una serie numerica, cioè una stringa di addendi in successione, normalmente frazionari, che consentono di avvicinarsi quanto voluto alla soluzione esatta: serie già introdotte nel XVII secolo da Newton e Leibniz e poi da Taylor e Gregory.

Ma Eulero volle intervenire per fornire ai cantieri un sistema più abbordabile del calcolo infinitesimale: nacque così nel 1735 la serie detta di Eulero (condivisa con McLaurin), una serie rapidamente convergente, cioè con un numero limitato di addendi per arrivare a ottenere una sufficiente precisione, soprattutto adatta al disegno delle curvature di raccordo prodiere e poppiere. Fu presto adottata nei calcoli dell’epoca.

La vita nel Settecento era difficile in Europa, falcidiata dalle estese guerre di successione delle monarchie dell’Ancien Régime, ed anche Eulero ebbe vicende travagliate che concentrarono la sua vita a periodi alterni tra le Accademie di San Pietroburgo, alla corte delle zarine, e quella di Berlino, alla corte di Federico II di Prussia. Fu fra queste due corti che nacque il lavoro fondamentale alla base della progettazione anche delle nostre barche: il metodo di stabilità metacentrica per galleggianti di qualsiasi tipo, anche asimmetrici, quasi contestuale a quello di Bouguer, che riguardava però solo quella dei vascelli.

Fig. 2 – Dimostrazione del metodo di stabilità metacentrica di Eulero (fig. 2.7.3 dall’originale).

Descriverà il suo lavoro nel trattato Scientia Navalis del 1749 e la formula base del momento raddrizzante divenne così famosa da essere adottata per molti anni sui bottoni delle uniformi dei Costruttori della Marina svedese.

Fig. 3 – Il bottone dell’uniforme della Marina svedese con la formula del momento raddrizzante di Eulero.

Questo fu il passo basilare per la stabilità, soprattutto trasversale, di una nave o un’imbarcazione, anche se inizialmente disatteso da molti costruttori. Sarebbero dovuti passare altri cinquant’anni circa per la definizione delle leggi di stabilità ad elevate inclinazioni (Attwood, 1798) ed altri cinquanta ancora per quelle della stabilità dinamica (Moseley, 1850), ma il primo fondamentale gradino, dopo molti secoli, era stato superato.

Salto ora lungo la cronologia per passare al secondo fondamentale contributo di Eulero alla nautica odierna: la fondazione della fluidodinamica, inizialmente studiando un fluido perfetto, incomprimibile e non viscoso. La matematizzazione del moto dei fluidi aveva sempre attratto scienziati di tutte le epoche, ma la materia si presentava molto difficile e solo da osservazioni pratiche erano governate le varie applicazioni dei secoli precedenti.

In questa lunga elaborazione concettuale Eulero fu affiancato dagli studi importantissimi dell’amico Daniel Bernoulli e conosceva a fondo anche quelli precedenti di Newton, Pascal, Torricelli e Stevin, ma fu anche contrastato dall’enciclopedico D’Alembert.

La sua idea iniziale era di considerare una determinata e piccolissima porzione dello spazio e chiedersi come cambiava il comportamento delle particelle fluide che passavano di lì, tra quando entravano e quando uscivano da questo spazio di osservazione, estendendo poi questa dinamica al resto del flusso. Giunse così a un sistema di tre equazioni differenziali che costituiscono l’espressione fondamentale dell’equilibrio dinamico di un fluido in movimento (in Principia motus fluidorum, 1755). Finalmente anche un qualsiasi fluido veniva “ingabbiato” in un modello matematico.

Ma vi è una materia meno generalmente nota che correda il suo contributo alla progettazione delle forme fluidodinamiche odierne: il calcolo delle variazioni, un settore complesso dell’analisi matematica che, semplificando, studia equazioni differenziali in cui anche le incognite stesse sono funzioni, dette funzionali, di cui si studiano massimi e minimi. La prima pubblicazione risale al 1770. Le soluzioni sono così complesse da risultare normalmente numeriche (approssimate) e non analitiche, tranne che in pochi casi. Il calcolo delle variazioni è oggi alla base del cosiddetto metodo ad elementi finiti (F.E.M.): le superfici da esaminare, come ad esempio quelle di uno scafo, vengono suddivise in piccoli elementi geometrici più semplici. Si tratta di una tecnica numerica e computerizzata utilizzata non solo nella nautica e in campo navale, ma in molte branche dell’ingegneria per simulare e prevedere il comportamento di strutture o materiali complessi sottoposti a carichi fisici, fluidodinamici e termici.

Fig. 4 – Applicazione del metodo ad elementi finiti (F.E.M.) nella progettazione di uno scafo moderno.

Anche le innovazioni delle barche dell’America’s Cup con foil o senza sono tributarie sia di Bernoulli che della fluidodinamica e del calcolo delle variazioni di Eulero.

Fig. 5 – Lo scafo di Alinghi, uno degli esempi più celebri di progettazione fluidodinamica computazionale applicata alla vela d’altura.

Dalle equazioni di Eulero discendono anche le importanti equazioni di Navier-Stokes del 1845, che governano la odierna fluidodinamica computazionale (CFD), per descrivere il comportamento di un fluido continuo, omogeneo e viscoso. Anche queste, dal punto di vista analitico, sono difficilmente risolvibili (sono tra i sette “Problemi del Millennio”), a meno di alcuni casi semplificati, e si risolvono con metodi numerici che consentono approssimazioni molto elevate.

Ma i suoi contributi non finiscono qui. La nostra imbarcazione, per muoversi in sicurezza in acqua con i suoi sei gradi di libertà, ha bisogno di una robustezza strutturale senza aggravarsi di carichi e spessori inutili. Il metodo usato è basato sulla similitudine di uno scafo con una trave flessibile, studiata dalla scienza delle costruzioni. È ancora qui che Eulero interviene: prima definendo matematicamente il moto traslatorio e rotatorio di un corpo rigido sottoposto alla forza di gravità in un sistema di riferimento rotante (Mechanica, 1736), poi le leggi dell’equilibrio statico di una trave elastica, completate solo nel 1771, con tre celebri equazioni indefinite di equilibrio. Le tensioni di trazione e compressione e quelle di taglio delle nostre barche, i loro momenti flettenti e la loro robustezza complessiva vengono studiati con questo metodo.

Sempre in termini di robustezza, è ad Eulero che si deve anche la formula che definisce il carico di punta (o critico), cioè la massima sollecitazione di compressione applicabile alla testa dell’albero della nostra imbarcazione. Per quanto questa formula sia relativamente semplice, l’intuizione maturò dopo quasi vent’anni di riflessione, nel 1759, e la sua applicazione convinse i costruttori solo dopo quasi altri cento anni: incredibile ma vero.

Per concludere con un fatto storico, fu la sua notorietà come problem solver matematico che lo portò a studiare anche gli ingranaggi rotativi di minor attrito. Avvenne quando dalla Marina prussiana gli giunse nel 1754 la richiesta di migliorare i macchinari rotativi e le lunghe seghe lineari con cui venivano segati tronchi e assi per uso navale, per accelerare la lavorazione divenuta urgente in vista della Guerra dei Sette Anni. Allora si usavano ruotismi con dentature triangolari, ma questi si inceppavano frequentemente perché le dentature si consumavano irregolarmente, vibravano e si bloccavano, interrompendo tutta la catena delle lavorazioni sequenziali. La soluzione fu trovata da Eulero con le dentature dette cicloidali e ad evolvente, usate ancora negli ingranaggi moderni.

Fig. 6 – Schema delle dentature cicloidali e ad evolvente ideate da Eulero, ancora alla base degli ingranaggi moderni.

Basterebbero queste applicazioni matematiche alla fisica per definire Eulero il principale fondatore della nautica odierna. Senza di esse né la statica né la dinamica delle nostre barche sarebbe la stessa, e senza il suo genio sarebbero forse passati ancora molti decenni per conseguire passi avanti decisivi.

Possiamo ancora dire, con l’altro grande matematico Pierre-Simon Laplace, quando Eulero morì:

«Leggete Eulero; egli è il maestro di tutti noi».